미분방정식의 분석

y'[t] == y[t] (4 - y[t])란 미분방정식을 분석해보자. 초기 조건을 y[0] == 0이나 y[0] == 4로 주면 y'[t]==0이니, t에 무관하게 각각 0과 4에 머무는 것을 예측할 수 있다. 더 구체적인 분석에 앞서, 백문이 불여일견이라 했으니 방향장(direction field)을 한 번 그려보자.

StreamPlot[{1, y (4 - y)}, {t, 0, 5}, {y, -5, 5},
 FrameLabel -> {t, y}]

y'=y(4-y)의 방향장 그래프

y[0]을 초기 조건으로 잡는다면, y[0]이 0보다 크면, 4로 수렴하고 y[0]이 0보다 작으면 음의 무한대로 발산하는 것처럼 보인다. 과연 그럴까? 초기 조건을 y[0] == -2로 해서 미분방정식을 실제로 풀어보자.

DSolve[{y'[t] == y[t] (4 - y[t]), y[0] == 4}, y[t], t]
Equal @@ %[[1, 1]]
Map[Limit[#, t -> Infinity] &, %]

이게 어찌 된 일일까? 초기 조건을 0보다 작게 두었는데, 발산하지 않고 4로 수렴한다는 결과가 나왔다. 미분방정식의 해를 그래프로 그려보면 이유를 알 수 있다. 

Plot[(4 Exp[4 t]))/(-3 + Exp[4 t]), {t, 0, 3}, PlotRange -> {-5, 9}, 
 AxesLabel -> {t, y}]

y'=y(4-y)의 해를 그린 그래프

y[t]는 -2에서 출발해서 Log[3]/4에서 음의 무한대로 발산한다. Log[3]/4의 오른쪽은 양의 무한대에서부터 시작해서 4로 수렴하게 된다. 즉 Log[3]/4라는 특이점(singularity)이 존재한다.